Une piste de skate

Problème adapté de la banque nationale de sujets : https://www.education.gouv.fr/reussir-au-lycee/bns

Voici le profil d'un module de skate-board tracé dans un repère.

A est le point de coordonnées \(( 0 ~; 5 )\).
La portion \(\stackrel{\frown}{\text{BC}}\) est un quart de cercle de centre \(\text{A}\) et de rayon \(4\).
La portion entre les points \(\text{C}\) et \(\text{F}\) est la courbe représentative \(\mathcal{C_f}\) de la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \([ 0~; 4 ]\)par \(f(x) = 0{,}2 x^2 + 1\).
La portion entre les points \(\text{F}\) et \(\text{G}\) est la courbe représentative \(\mathcal{C_g}\) de la fonction \(g\) définie sur l'intervalle \([ 4~ ;6 ]\) par \(g(x) = − 0{,}1 x^2 + 2{,}4 x − 3{,}8\).

1. Calculer\(f'(x)\), puis le nombre dérivé \(f '(0).\)
2. Tracer à l'aide des outils disponible dans le fichier de géométrie dynamique, en couleur, la tangente au cercle au point \(\text{C}\).
3. Donner l'équation de la tangente à la courbe \(\mathcal{C_f}\) au point \(\text{C}\). Justifier que la portion \(\stackrel{\frown}{\text{BC}}\) et celle entre les points \(\text{C}\) et \(\text{F}\) se raccordent en \(\text{C}\) sans point anguleux, c'est-à-dire avec la même tangente.
4. Justifier que les courbes \(\mathcal{C_f}\) et \(\mathcal{C_g}\) se raccordent bien au point \(\text{F} ( 4~ ; 4{,}2 )\).
5. On admet que l'équation de la tangente à la courbe \(\mathcal{C_g}\) au point \(\text{F}\) est \(y = 1{,}6 x - 2{,}2\). Justifier alors que les deux portions, celle entre les points \(\text{C}\) et \(\text{F}\) et celle entre les points \(\text{F}\) et \(\text{G}\), se raccordent sans point anguleux.